|
SAYILAR ARASINDA YOLCULUK
Rakamlar�n nas�l olu�tu�unu, bug�n kulland���m�z
�eklini ne zaman ald���n� biliyor musunuz? Hi� merak ettiniz mi? Fransa'da 6.
S�n�f ��rencileri bir g�n kendi aralar�nda rakamlar�n nereden geldi�ini �ok
merak ettiklerini tart���yorlarm��. Matematik ��retmenleri de tart��maya
kat�lm��. O da rakamlar�n bu g�n kulland���m�z �eklini ne zaman ald��� ile
ilgili soruya bir yan�t verememi�. Hemen orada bu konu ile ilgili ara�t�rma
yapamaya karar vermi�. Bu konuda 2000 sayfal�k 2 ciltlik dev bir eser ortaya
��karm��. Basit bir merak matemati�e �ok �nemli bir eser kazand�rm��. Rakamlar
bizim kulland���m�z durumuna gelinceye dek bir �ok evreler ge�irmi�tir. Biz, bu
a��dan �ok �ansl�y�z. ��nk�, her �ey �n�m�ze haz�r geldi.
Bir ��retmene sormu�lar. "�lkokula yeni ba�layan
��renciler daha ilk g�nde aritmetik hakk�nda ne bilmeleri gerekir?" o da " 1 den
100 e kadar olan say�larla dost olmas� gerekir." demi�tir. Say�larla nas�l dost
olabiliriz? Bu en az�ndan toplama i�lemini g�r�nce pani�e kap�l�p terlemeye
ba�lamamak demektir. Say�lara her zaman her yerde rastlar�z. Baz� �zeliklerini
ve en az�ndan aralar�ndaki baz� ili�kileri biliyoruz. Onlarla ilgili bir �ok �ey
��rendik ve bu ger�eklerin bir b�l�m�n� biz kendimiz ke�fettik. Hepimiz
beynimizde say�larla ilgili ger�ekleri saklar�z. �rne�in 144, 12 nin karesidir.
169, 13 �n karesidir. 16, 32,64,128 ve 512 say�lar� 2 nin tam kuvvetleridir.
Bilgisayar merakl�lar�, bilgisayar belleklerinin tan�m�nda ve bilgisayar
etiketlerinde ge�ti�i i�in bu say�lar� iyi tan�rlar.
Hardy 1729 no lu taksiyle geldi�ini ve bu
numaran�n ona kendisi i�in �nemsiz g�z�kt���n� ve u�ursuz bir �ey olmamas�n�
umdu�unu s�yleyince Ramanajuan hemen �u yan�t� verdi."Hay�r, bu �ok ilgin�
say�d�r; bu iki k�p toplam� olarak farkl� iki �ekilde ifade edilebilen say�lar�n
en k�����d�r." 1729=12� +1�=10�+9�
Say�larla �al��an herkes, do�al olarak bir �ok
yararl� bilgileri depolar. Hepimiz 9 un tek basamakl� kare say�lar�n en b�y���
oldu�unu biliriz. Bu �ok �nemli mi? Hay�r. Fakat �unu da fark edersiniz; kare
olan say�dan 1 ��kar�nca elde edilen say�, aralar�ndaki fark iki olan iki do�al
say�n�n �arp�m�d�r. �rne�in; 16-1=15 ve 15 =3.5 benzer olarak siz de b�yle bir
�ok say� bulabilirsiniz.
En �ok tan�d���m�z say�lar karelerdir;
1 4 9 16 25 36 49 64
Bu kareler aras�ndaki fark�n gitgide b�y�mesi
dikkatimizi �eker.
1 4 9 16 25
36 49 64 81 100 ...
3 5 7 9 11
13 15 17 19
Bir de bak�yorsunuz kare say�lar�n farklar�, tek
say�lar dizisinden ba�ka bir �ey de�il.
Bu d���nceyi daha �nce s�z�n� etti�imiz 2 nin
kuvvetleri ile deneyebiliriz.
2 4 8 16 32 64 128
256 ...
2 nin her kuvveti solundaki say�n�n iki kat�d�r.
Bu bize 2 nin soluna 1 yazmam�z gerekti�ini anlat�r.
1 2 4 8 16 32 64
128 256 ...
�imdi de farklar� yazal�m:
1 2 4 8 16 32 64
128 256 ...
1 2 4 8 16 32 64
128 256 ...
G�r�yoruz ki farklar dizisi orijinal dizinin
tekrar� oluyor. Demek ki kareler dizisinden hayli farkl� bir dizi ile
kar��la�t�k sorusunun yan�t� hay�rd�r.
K�pler dizisini d���nelim:
1 8 27 64 125 216
343 512 ...
Bu dizi kareler dizisinden daha �abuk b�y�yor. Ne
kadar h�zl� b�y�d���n� fark etmek i�in farklar�n� yazal�m.
1 8 27 64 125 216
343 512 ...
7 19 37 61 91 127
169
12 18 24 30 36 42
En alt dizi farklar�n fark�d�r. O da art�yor ama o
kadar h�zl� de�il. Her seferinde 6 art�yor. B�yle �rnekleri �o�altabiliriz.
Hatta matematik�iler son yazd���m�z diziye bakarak di�er t�m dizilerde 6 n�n
gizini aram��lard�r. �rne�in; k�plerin fark�n� ��yle yazm��lar:
1 8 27 64
125 216 343 512 ...
1x6+1 3x6+1 6x6+1 10x6+1
15x6+1 21x6+1 28x6+1
Bu durumda 6 n�n �arp�ld��� say�lar�n bir �zelli�i
oldu�undan ��phelenilir. 6 n�n �arp�ld��� say�lar� s�ras�yla yazal�m.
1 3 6 10 15 21 28
36 45 ...
Matematik�iler problemler hakk�nda ��yle derler: "Bir problem di�erine yol a�ar
ve bir do�ru d���nce bir �ok d���nceye g�t�r�r insan�."
�imdi bu dizinin olu�turdu�u say�lar�n fark�na bakal�m:
1 3 6 10 15 21 28
36 45 ...
2 3 4 5 6 7
8 9 ...
6 ile �arp�lan say�lar dizisi aras�ndaki farklar�n
farklar� bizi 1 in eksik oldu�u do�al say�lar dizisine g�t�r�r. Bu �zellik bize
dizinin 1 le ba�lamas� gerekti�ini d���nd�r�r. Bu ise ancak k�pler dizisinin 0
ile ba�lamas� ile m�mk�nd�r. Bak�n say�lar aras�nda yapt���m�z yolculuk bizi
nas�l ilgin� sonu�lara g�t�rd�. B�yle bir �ok modeller olu�turabiliriz.
Frans�z bir hakim olan Fermat matematikle amat�rce
u�ra��yordu. O da say�lar�n aras�ndaki baz� gizleri ke�fetmi�ti. Fermat her tam
say�n�n d�rt karenin toplam� oldu�unu ileri s�rm��t�. Fakat bir �ok tam say� ise
d�rtten az karenin toplam�d�r. Fakat 7 asla �� karenin toplam� de�ildir.
�ngilizce'de "Ne demek istedi�ini anl�yorum" yerine " Ne demek istedi�ini
g�r�yorum" derler. Modern �ngilizce'de "g�rmek" ekseriya "anlamak" yerine
kullan�l�r. Matematikte g�r��, do�ruca �n�m�zdeki bir �eye bakmaktan mecazi
anlamda "g�rmeye" kadar de�i�ir. Sylvester, matemati�in "farklar�n benzerli�i
ile benzerliklerin fark�n� anlamak" oldu�unu s�yler. Matematik�iler ili�kileri
ve ba�lant�lar� g�r�rler, ayr�ca fark edilmesi zor �zellikleri de alg�larlar.
Bunu geometride grafikleri �izerken aritmetik ve cebirde oldu�u kadar kolayl�kla
yaparlar.
�imdi baz� matematik bilmecelerinin yan�tlar�n�
birlikte arayal�m:
1.
1 den daha k���k olan en b�y�k say� nedir?
2.
Hepimiz farkl�y�z, sonsuz say�day�z, hepimiz birbirimize e�itiz.
3.
Bir ��genin merkezi neresidir?
4. Ben bir say�yla o say�y� daha k���k veya daha b�y�k
yapmadan �arp�l�r�m. Ben neyim?
5. Kendimle �arp�l�nca kendime eklenirim. Ben neyim?
6.
S�rekli d�nerim ama asla ��k�� noktas�na ula�amam.
Sorular�n yan�t�n� verdikten sonra biraz
d���nelim. Matematik ya�am boyu yapt���m�z en g�zel yolculuktur. Say�la bizi
bir �ok bilinmeyenin i�inde gezdirir ve �o�u kez yolculu�umuz bilinenlerin
i�inde sona erer.
Matematik ister g�nl�k ya�amda saymak ve �l�mekte,
ister problem ve bilmeceleri ��zmekte, ister f�zeler, y�zen cisimler,
kald�ra�lar, teraziler veya manyetik kuvvet �izgilerini bilimsel olarak
incelemekte kullan�ls�n, eninde sonunda k�klerinden kopar ve kendi ya�am�n�
ya�amaya ba�lar. B�yle yapmakla daha kuvvet kazan�r; ��nk� art�k yaln�z belli
durumlarda de�il, benzer b�t�n durumlarda kullan�lacakt�r. B�ylece daha soyut
daha oyunvari olur. Sonra ne olur? Deneyim artt�k�a oyun daha iyi oynan�r. �lk
bulundu�unda �a��rt�c� olan sonu�lar; giderek daha tan�d�k, a��k, hatta apa��k
hal al�r. Art�k esrarl� ve u�ra�t�r�c� bir yan� kalmam��t�r. Giderek daha fazla
say�da problem standart y�ntemlerle ��z�lecektir. Ve b�ylece kullan�labilen
tekniklerin ufku geni�leyecektir. Bu nedenle uygulamalar giderek kolayla�acak
ve en kuvvetli matematik�ilerin dikkatini gerektiren zor ve u�ra�t�r�c�
problemleri bulmak zorla�acakt�r.
Rakamlar�n g�n�m�ze de�in yapm�� oldu�u yolculu�u
incelersek bu g�n ne denli �ansl� oldu�umuza seviniriz.
| 
